Estimation Machinery

K5 Biases, Correspondences and Outliers

1 偏差

假设一个带有偏差的系统：

BLUE

无偏：多次取样后，the mean of the estimator will converge to the true value that we want to estimate.

一致：多次取样后，估计协方差收敛于样本的(真)协方差

这个系统的无偏性和一致性不再存在：

假定k=0时无偏一致，可得k=1时是有偏不一致的：

需要修正卡尔曼滤波器，得到无偏一致的估计：

结论：

修正的过程中，我们需要知道偏差的精确值。但是，这多数情况下不可能，所以要对两种偏差进行估计。

输入偏差

假定测量偏差为0，只考虑输入偏差。

增广(augmented)状态x的形式：

即 将输入偏差 $\overline u$ 也作为需要估计的状态 和原来的 $x$ 组合成新的增广状态。

运动模型：

观测模型：：

这里可以继续讨论存在唯一解的条件(参照唯一解)，即观察能观性矩阵。

测量偏差

增广(augmented)状态： 将测量偏差 $\overline y$也加入到 $x$中

运动模型：

观测模型：

SLAM：同时定位与地图建立。“定位”对应车的状态，“地图”对应路标点的位置。

例：不能观的系统：观察能观性矩阵发现不满秩，零空间是线性生成空间($O’v=0$的解不唯一)

意味着当我们同时移动推车和路标（向左或向右移动）时，测量不会发⽣改变。

1. Batch：左侧的矩阵不能求逆。但是我们知道，对于每⼀个线性方程组Ax = b，要么没有解，要么有唯⼀解，要么有无穷多组解。在这种情况下，我们的线性方程组是有无穷多组解而不是唯⼀解的。
2. KF：我们需要对状态有⼀个初始的估计。我们最终得到的解依赖于初始条件的选取。换句话说，在初始时刻引入的偏置，将⼀直存在于系统中。

2 匹配

数据关联问题就是找出每⼀个测量信息对应于模型中的哪⼀部分。如果匹配不正确，可能会导致结果不收敛。

外部数据关联

例如，⼀些观测物体被涂上了不同的颜色，而通过立体相机观测到的这些物体，可以利用颜色信息来进行数据关联。颜色信息在估计问题中也就不会再用到。诸如视觉条形码，特定频率的信号或者编码信息（如GPS 卫星）也是外部数据关联。

内部数据关联

比如谷歌最近有的 扫地标判断位置 。

3 外点

⼀种常见的⽅法（在⼀维度数据中）是将超出平均值三个标准差的测量值作为外点。

处理外点的两种最常用方案：RANSAC, M-估计。两种方案可以单独使⽤或串联使用。

RANSAC

注意是计算内点的残差和。

除了简单的找2D直线，也可以运用在3D直线中：Fundamental Matrix

Iterations

设每个点是内点的概率为 w = 内点数量/总数量，拟合模型需要n个点 (直线需要两个点 n=2)，需要拟合k次。

那么：

p(k次都不成功) = 1-p(k次中有一次成功) = (p(这次不成功))^k = (1-p(这次成功))^k

p(这次成功) = p(选的n个点都是内点) = w^n

M-Estimation / Robust Estimation

在NLNG-MAP中的关于e的二次型 non-robust的原始目标函数

现在令：

得到新目标函数

满足条件的p(u)有很多，如：

其中比二次函数增长慢的成为鲁棒代价函数。

因为增长较慢，当e很大(外点)时，权重不会很大，影响力减弱。

梯度：

其中 $W_i$是constant的，但 $Y_i$取决于 $u_i$所以不是constant了。这导致每次协方差矩阵都会变化。

可以用迭代的方法：用上一个 $x_k/x_{op}$计算 $Y$。

即迭代重加权最小二乘法 IRLS

总结

1. 总是有非理想的因素（例如偏差和外点），使得实际的估计问题与本书中纯数学的推导不同。这些非理想因素是实际应用中误差的主要来源。
2. 在某些情况下，我们可以将估计的偏差叠加到估计框架中，而在有些情况不能这么做。这是由问题的能观性来决定的。
3. 在大多数实际的估计问题中，外点是真实存在的，因此有必要使⽤某种形式的预处理（如RANSAC）以及鲁棒代价函数。

16.01.2021 完结

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